№1023409[Quote]
>>1021512I NEED THE FULL SONG NOW NOW NOW NOW NOW NOW NOW NOW NOW NOW
№1025185[Quote]
Thank you dear janitors i am unbanned🤗
№1025247[Quote]
>>10252441.2.3.2 Ogólne uwagi o funkcjach wielomianowych
Funkcja wielomianowa (1.32) jest sumą skończonej liczby funkcji jednomianowych, czyli funkcji postaci R∋x⟼ax^n, gdzie a≠0. Gdy n=2k-1, to x⟼ax^n jest ściśle rosnąca, gdy a>0 i ściśle malejąca, gdy a<0. Zaś funkcja jednomianowa x⟼ax^2k jest przedziałami monotoniczna. Na przedziale (-∞;0] jest funkcją ściśle malejącą przy a>0 i ściśle rosnącą przy a<0, a na przedziale [0;+∞) jest ściśle rosnącą przy a>0 i ściśle malejącą przy a<0. Czytelnik z łatwością to uzasadni.
Na rysunku 1.4a widzimy wykres funkcji wielomianowej f∶x⟼x^4-2x^2+1/2 x+3/10, a na rysunku 1.4b, wykres funkcji wielomianowej g∶x⟼2x^5-6x^4+7/2 x^3+3/2 x^2-x+1.
Analizując takie i podobne przykłady domyślamy się prawdziwości poniższych tez, których dowód, po przeczytaniu rozdziału drugiego, będzie łatwym ćwiczeniem:
Teza 1. Funkcja wielomianowa jest przedziałami monotoniczna, dokładniej: dla funkcji wielomianowej stopnia r istnieją takie liczby α_1≤α_2≤⋯≤α_(r-1), że f jest ściśle monotoniczna na każdym z przedziałów (-∞;α_1 ],[α_1;α_2 ],…,[α_(r-1);+∞).
№1025387[Quote]
This is the 3rd oldest thread on the entire board
№1025493[Quote]
>>1025387(1.37)
określona na zbiorze D=R∖{x∶g(x)=0}, nazywa się funkcją wymierną.
Przykład 1. Na rysunku Rys. 1.5a pokazujemy (fragment!) wykresu funkcji wymiernej
f∶R∖{α,β}∋x⟼(x^2-x-1)/(x^2+x-9),
gdzie α=-1/2-1/2 √37,β=-1/2+1/2 √37 są pierwiastkami mianownika. Zaznaczone są tam dwie proste x=α i x=β. Są to asymptoty pionowe wykresu. ♢
Przykład 2. Ważny przykład funkcji wymiernej: homografia, iloraz funkcji afinicznych:
x⟼h(x)=(ax+b)/(cx+d).
(1.38)
Jeżeli c=0, to homografia ta jest zwykłą funkcją afiniczną x↦a/d x+b/d. Przyjrzyjmy się więc bliżej przypadkowi c≠0. Wówczas dziedziną homografii (1.38) jest zbiór R∖{-d/c} wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem miejsca zerowego -d/c mianownika cx+d. Punkt (x,y) leży na wykresie homografii (13.8) wtedy i tylko wtedy, gdy:
y^'≔y-a/c=(ax+b)/(cx+d)-a/c=k/x^' ,
gdzie x^'≔x+d/c, a k=(-ad+bc)/c^2 . Widzimy stąd, że wykres funkcji (1.38) jest hiperbolą równoosiową o równaniu x^' y^'=k w układzie współrzędnych Ox^' y^', którego osie y^'=0 oraz x^'=0 są asymptotami tej hiperboli (zobacz PLA). Na rysunku Rys. 1.5b pokazujemy wykres homografii x⟼(3x+2)/(4x-6).
№1025679[Quote]
Lsat 50 post 1 2 qyite voichect
№1025685[Quote]
geg
№1025686[Quote]
geg
№1025688[Quote]
dgjgdj
№1025728[Quote]
Chud 47 minutes ago №1025717[Quote]
>>1025687 (You)
*boops you*
№1026158[Quote]
sheldon lee cooper you nigger!
№1026175[Quote]
testtesttesttesttesttesttest
№1026379[Quote]
zbiór, który ma i sufit, i podłogę, nazwiemy po prostu ograniczonym. Okaże się, że to samo da się zapisać jedną, bardzo wygodną nierównością z wartością bezwzględną – i to właśnie pokażemy w twierdzeniu.
DEFINICJA 3. Zbiór X⊆R nazywamy ograniczonym, jeśli jest jednocześnie ograniczony z góry i ograniczony z dołu, tzn. istnieją liczby m,M∈R takie, że
∀x∈X∶m≤x≤M.
To, ale intuicyjnie. Zbiór ograniczony to taki, który mieści się w pewnym skończonym przedziale. Nie ucieka ani w lewo, ani w prawo w nieskończoność. Możesz go „zamknąć w pudełku” [m,M].
TWIERDZENIE 3. Zbiór X⊆R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba K≥0 taka, że
∀x∈X∶|x|≤K.
zbiór, który ma i sufit, i podłogę, nazwiemy po prostu ograniczonym. Okaże się, że to samo da się zapisać jedną, bardzo wygodną nierównością z wartością bezwzględną – i to właśnie pokażemy w twierdzeniu.
DEFINICJA 3. Zbiór X⊆R nazywamy ograniczonym, jeśli jest jednocześnie ograniczony z góry i ograniczony z dołu, tzn. istnieją liczby m,M∈R takie, że
∀x∈X∶m≤x≤M.
To, ale intuicyjnie. Zbiór ograniczony to taki, który mieści się w pewnym skończonym przedziale. Nie ucieka ani w lewo, ani w prawo w nieskończoność. Możesz go „zamknąć w pudełku” [m,M].
TWIERDZENIE 3. Zbiór X⊆R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba K≥0 taka, że
∀x∈X∶|x|≤K.
№1026380[Quote]
>>1026157My co worker be losing his fucking mind
№1026386[Quote]
>>1026381TWIERDZENIE 3. Zbiór X⊆R jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje liczba K≥0 taka, że
∀x∈X∶|x|≤K.
Dowód. Załóżmy, że X jest ograniczony, tzn. istnieją m,M takie, że m≤x≤M dla wszystkich x∈X. Niech K=max(|m|,|M|). Wtedy K≥0, oraz dla każdego x∈X mamy -K≤-|m|≤m≤x≤M≤|M|≤K (korzystamy z faktu, że -|m|≤m oraz M≤|M|, co zachodzi zawsze z definicji wartości bezwzględnej). Zatem -K≤x<K, czyli |x|≤K.
Załóżmy, że istnieje K≥0 takie, że |x|≤K dla wszystkich x∈X. Z definicji wartości bezwzględnej oznacza to -K≤x≤K dla wszystkich x∈X. Zatem m=-K jest minorantem, a M=K jest majorantem zbioru X, więc X jest ograniczony. To należało wykazać.
№1026850[Quote]
>>1026386k
5g3w46jk47k4k74
№1026904[Quote]
>>1026381His minds been lost long ago